\chapter{牛顿引力}\label{NewtonGravityOnSphyere}
\section{球体的引力}
\subsection{牛顿给出的证明}
牛顿在《自然哲学之数学原理》第一编第12章球体的吸引力证明了9个定理，1个引理，还计算了很多问题，用于计算各种情况下球体的引力。命题76定理36推论3和推论4就是著名的引力定律。为了便于对照和引用，笔者抄录一些命题于下。

一些定理的简要描述结论如下：

命题70 定理30：均匀球壳对壳内质点的引力为0。

命题71 定理31：均匀球体对球外质点的引力反比于球心到质点距离的平方。

命题72 定理32：均匀球体内任意质点受到的引力正比于质点到球心的距离。

命题73 定理33：均匀球内小球受到的吸引力正比于它到中心的距离。

命题74 定理34：球外的小球受到的吸引力反比于它到球心的距离的平方。

第一个命题(命题70，定理30，详见该书中文版第215页，PDF文档索引页码262)为：球壳对内部质点引力为零。牛顿使用几何方法给出了证明。命题和证明翻译成中文全文如下：

\subsubsection{命题70 定理30}
如果指向球面每一点的相等的向心力随到这些点的距离的平方减小，则该球面内的小球将不会受到这些向心力的吸引。

令HIKL为球面，P是球面内的小球。通过P向球面作直线HK,IL，截取极短弧长HI,KL；因为(由引理7推论3，在该书第43页，PDF文档索引页码90)三角形HPI,LPK相似，这些弧正比于距离HP,LP；落在由通过P的直线在球面上所限定的弧HI和KL之内的那些粒子，正比于这些距离的平方。所以这些粒子作用于物体P上的力相互间相等。因为力正比于粒子，反比于距离的平方。这两个比值复合成相等的比值1:1.所以吸引相等，但作用于相反方向上，相互抵消。由类似理由，整个球面产生的吸引由于反向吸引而全部抵消。所以物体P完全不受这些吸引力的作用。
\subsubsection{命题71 定理31}
在相同条件下，球面外小球受到的指向球面中心的吸引力反比于它到该中心距离的平方。

牛顿(在该书中文版第216页)同样对此命题使用几何方法给出了详尽的证明。
\subsubsection{命题72 定理32}
如果指向球上若干点的相等的向心力随其到这些点的距离的平方而减小，而且球的密度以及球直径与小球到球中心的比值为给定值，则使小球被吸引的力正比于球半径。

推论1，如果多个小球绕由同等吸引的物质组成的球作圆周还动，且到球中心的距离正比于它们的直径，则环绕周期相等。

推论2，反之，如果周期相等，则距离正比于直径。这两个推论可由命题4推论3得证。

推论3．如果两个物体形状相似密度相等，其上各点的相等的向心力随到这些点的距离的平方而减少，则使处于相对于两个物体相似位置上的小球受吸引的力之间的比，等于物体的直径的比。
\subsubsection{命题73定理33}
如果已知球上各点相等的向心力随到这些点的距离的平方而减小，则球内小球受到的吸引力正比于它到中心的距离。
\subsubsection{附注}
我在此设想的构成固体的表面，并不是纯数学面，而是极薄的壳体，其厚度几乎为零；即，当壳体的数目不断增加时，最终构成球的新生壳体的厚度无限减小。同样地，构成线、面和体的点也可看做是一些相等的粒子，其大小也是完全不可想象的。
\subsubsection{命題74定理34}
在相同条件下，球外的小球受到的吸引力反比于它到球心的距离的平方。

设该球分割为无数共心球面，各球面对小球的吸引(由命题71)反比于小球到球心的距离的平方。通过求和，这些吸引力的和，即整个球对小球的吸引力，也等于相同比值。

证毕。

推论1，均匀球在相同距离处的吸引力的比等于球自身的比。因为（由命题72）如果距离正比于球的直径，则力的比等于直径的比。令较大的距离以该比值减小，使距离相等，则吸引力以该比值的平方增大；所以它与其他吸引力的比等于该比值的立方，即等于球的比值。

推论2，在任意距离处吸引力正比于球，反比于距离的平方。
推论朊如果位于均匀球外的小球受到的吸引力反比于庀
到球心距离的平方，而球由吸引粒子组成，则每个粒子的力将
随小球到每个粒子的距离的平方而减小。
\subsubsection{命题75定理35}
如果加在已知球上的各点的向心力随到这些点的距离的平方而减小，则另一个相似的球也受到它的吸引，该力反比于二球心距离的平方。

因为，每个粒子的吸引反比于它到吸引球的中心的距离的平方(由命题74)，因而该吸引力如同出自一个位于该球心的小球。另一方面，该吸引力的大小等于该小球自身所受到的吸引，如同它受到被吸引球上各粒子以等于它吸引它们的力吸引它一样。而小球的吸引(由命题74)反比于它到被吸引球的中心的距离的平方；所以，与之相等的球的吸引的比值相同。

证毕。

推论1，球对其他均匀球的吸引正比于吸引的球除以它们的中心到被它们吸引的球心距离的平方。

推论2，被吸引的球也能吸引时情形相同。因为一个球上若干点吸引另一个球上若干点的力，与它们被后者吸引的力相同；由于在所有吸引作用中（由第三定律),被吸引的与吸引的点二者同等作用，吸引力由于它们的相互作用而加倍，而其比例保持不变。

推论3，在涉及物体关于圆锥曲线的焦点运动时，如果吸引的球位于焦点，物体在球外运动，则上述诸结论均成立。

推论4，如果环绕运动发生在球内，则仅有物体绕圆锥曲线的中心运动才满足上述结论。
\subsubsection{命题76定理36}
如果若干球体（就其密度和吸引力而言）相互间由其中心到表面的同类比值完全不相似，但各球在其到中心给定距离处是相似的，而且各点的吸引力随其到被吸引物体的距离的平方而减小：则这些球体中的一个吸引其他球体的全部的力反比于球心距离的平方。

推论1，如果有许多此类的球，在一切方面相似，相互吸引，则每个球体对其他一个球体的加速吸引作用，在任意相等的中心距离处，都正比于吸引球体。

推论2，在任意不相等的距离处，正比于吸引球体除以二球心距离的平方。

推论3，一个球相对于另一个球的运动吸引，或二者间的相对重量，在相同的球心距离处，共同正比于吸引的与被吸引的球，即正比于这两个球的乘积。\label{NewtonsLawofUniversalGravitationMass}


推论4，在不同的距离处，正比于该乘积，反比于二球心距离的平方。\label{NewtonsLawofUniversalGravitationDistance}

推论5，如果吸引作用由二个球相互作用产生，上述比例式依然成立。因为二个力的相互作用仅使吸引作用加倍，比例式促不变。

推论6，如果这样的球绕其他静止的球转动，每个球绕另一个球转动，而且静止球与运动球心的距离正比于静正球的直径，则环绕周期相同。

推论7，如果周期相同，则距离正比于直径。

推论8，在绕圆锥曲线焦点的运动中，如果具有上述条件和形状的吸引球位于焦点上，上述结论成立。

推论9，如果具有上述条件的运动球也能吸引，结论依然成立。
\subsubsection{命题77定理37}
如果球心各点的向心力正比于这些点到被吸引物体的距离，则两个相互吸引的球的复合力正比于二球心间的距离。
\subsubsection{命题78定理38}
设有二球体，由球心到球面方向上既不相似也不相等，但到中心相等距离处均相似；而且每个点的吸引力正比于到被吸引物体的距离，则使两个这样的球体相互吸引的全部的力正比于二球心之间的距离。

这可以由前一个命题得证，与命题76可由命题75得证一样。

推论，以前在命题10和64中所证明的物体绕圆锥曲运动的结论，当吸引作用来自具有上述条件的球体的力，以及被吸引物体也是同类球体时，均都成立。

至此我己解释了吸引的两种基本情形；即当向心力随距离的比的平方而减小，或随距离的简单比值而增大，使物体在这两种情形下都沿圆锥曲线转动，并组合成球体，其向心力按同样定律随其到球心的距离而增减，一如球体内各部分那样；这一点极为重要。至于其他情形，其结论有欠优雅和重要，如果把它们像上述情形一样详加论述则有失繁冗。以下我宁可用一种普适的方法对它们作总体的解释和求解。
